【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时 古典概型的综合问题(教师版

第2课时　古典概型的综合问题

【例1】　从含有两件正品a_1，a2和一件次品b₁的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.

（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

解：每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω₁＝{（a_1，a2），（a_1，b1），（a_2，a1），（a_2，b1），（b_1，a1），（b_1，a2）}，

其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品.

Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.

用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，

则A＝{（a_1，b1），（a_2，b1），（b_1，a1），（b_1，a2）}，

事件A由4个样本点组成，所以P（A）＝＝.

（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率

是多少？

解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω₂＝{（a_1，a1），（a_1，a2），（a_1，b1），（a_2，a1），（a_2，a2），（a_2，b1），（b_1，a1），（b_1，a2），（b_1，b1）}，共9个样本点.

用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a_1，b1），（a_2，b1），（b_1，a1），（b_1，a2）}.

事件B由4个样本点组成，所以P（B）＝.

通性通法

解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点

（1）关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误；

（2）关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以（a_1，b1），（b_1，a1）不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.

【跟踪训练】

（2024·菏泽月考）一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

解：从袋中随机取两个球，所有可能样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个，

从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点为（1，2），（1，3），共2个，

因此所求事件的概率为＝.

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率.

解：先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，

则试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共16个样本点.

又满足条件n≥m＋2的事件的样本点有：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为.

【例2】（多选）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名，按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（）

A.应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人

B.第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为

C.第5组志愿者被抽中的概率为

D.第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为

解析：ABC　第3组抽取×6＝3（人），第4组抽取×6＝2（人），第5组抽取×6＝1（人），故A正确；设第3组的人分别为a，b，c，第4组的人分别为d，e，第5组的人为f，则6人中随机抽取2人有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种抽法，其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种抽法，则其概率为B正确；第5组志愿者被抽中有5种抽法，其概率为＝C正确；第3组志愿者至少有一人被抽中有12种抽法，其概率为＝D错误.

通性通法

古典概型与统计的综合问题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有：

（1）根据题目要求求出数据（有的用到按比例分配的分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识）；

（2）列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；

（3）找出所求事件包含的样本点个数；

（4）根据古典概型概率计算公式求解；

（5）明确规范地表述结论.

【跟踪训练】

为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如表.

根据上表，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180 cm的概率是（）

A.0.05B.0.38

C.0.57D.0.95

解析：D　由频数分布表可知，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm的概率是＝0.95.

【例3】　某儿童乐园在“六一儿童节”推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.

（1）求小亮获得玩具的概率；

解：用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}，

其中共有16个样本点.

记“xy≤3”为事件A，

则事件A包含的样本点个数为5，

即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.

所以P（A）＝.

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

解：记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C，

则事件B包含的样本点个数为6，

即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），

所以P（B）＝＝.

事件C包含的样本点个数为5，

即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），

所以P（C）＝.因为＞

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

通性通法

应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包含的样本点个数，最后代入公式求出概率.

【跟踪训练】

　某商场举行有将促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是从装有2个红球A_1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a_1，a2和2个白球b_1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.

（1）用球的标号列出所有的样本点；

解：所有样本点包含（A_1，a1），（A_1，a2），（A_1，b1），（A_1，b2），（A_2，a1），（A_2，a2），（A_2，b1），（A_2，b2），（B，a₁），（B，a₂），（B，b₁），（B，b₂）.

（2）有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.

解：不正确，理由如下：

由（1）知，所有样本点共12个，

其中摸出的2个球都是红球的样本点有（A_1，a1），（A_1，a2），（A_2，a1），（A_2，a2），共4个，

所以中奖的概率为＝1－＝.

1.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）

A.B.

C.D.

解析：D　因为不超过11的素数有2，3，5，7，11五个数，从中选取两个不同的数的样本点有（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共10个；其中和为偶数的样本点有（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共6个.所以和为偶数的概率为＝.

2.从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是.

解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个.因为都为奇数的样本点有（1，3），（1，5），（3，5），共3个，所以所求概率为.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4个，故概率为.

3.如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是.

解析：由图可知，B桶不可能第一个被取到，故画树状图表示所有可能的取法，如图.共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B的结果有2种，所以最后一个取到B的概率为.

1.欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（）

A.　　 　B.　　 　C.　　 　D.

解析：A　记4部书籍分别为a，b，c，d，则从4部书籍中任意抽取2部的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6个，抽到《几何原本》的样本点为ab，ac，ad，共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为P＝＝.

2.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）

A.B.C.D.

解析：C　样本空间Ω＝{（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）}，共9个样本点，其中颜色相同的样本点有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3个，故所求的概率P＝＝.

3.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）

A.B.C.D.

解析：C　∵Ω＝{（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，正确的开机密码只有1种，∴P＝.

4.将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5

C.0.6D.0.8

解析：C　2个1和3个0随机排成一行，样本点有00011，00101，01001，10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共10个；其中2个1不相邻的有00101，01001，10001，10010，10100，01010，共6个样本点，所以所求概率为P＝＝0.6.

5.（2024·潍坊月考）将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）

A.B.C.D.

解析：C　从5个数中随机删去的两个数有（1，3），（1，5），（1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5，7），（5，9），（7，9），共10个样本点，要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是（1，3），（1，5），（1，7），（3，5），共有4个样本点，所以剩下数据的平均数大于5的概率为P＝＝.

6.（多选）甲、乙两人做游戏，则下列游戏规则中公平的有（）

A.抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为奇数，则甲获胜；若向上的点数为偶数，则乙获胜

B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，若恰有一枚正面向上，则甲获胜；若两枚都正面向上，则乙获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，若扑克牌是红花色，则甲获胜；若扑克牌是黑花色，则乙获胜

D.甲、乙两人各写一个数字6或8，若两人写的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜

解析：ACD　选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，故游戏规则公平；选项B中，甲获胜的概率是；选项C中，扑克牌是红花色与扑克牌是黑花色的概率相等，故游戏规则公平；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，故游戏规则公平.故选A、C、D.

7.设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b＝（2，3），则事件“a∥b”发生的概率为.

解析：由题意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n）所有可能的情况共36种.因为平面向量a＝（m，n），b＝（2，3），且a∥b，则3m－2n＝0，则满足条件（m，n）的有（2，3），（4，6），共2种，所以事件“a∥b”发生的概率为＝.

8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.

解析：从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图所示.

样本点总数为25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10个，故所求的概率为＝.

9.（2024·台州月考）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为.

解析：用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4，1与8，共2种不同的组合，其和分别为5，9；第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3，2与7，6与3，6与7，共4种不同的组合，其和分别为5，9，9，13，故用五根小木棍随机摆放成图中的两个数，有2＋4＝6（种）不同的组合，其中两个数的和不小于9的有4种，所以这两个数的和不小于9的概率为P＝＝.

10.垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措.住建部于6月28日拟定了包括某市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2024年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，该市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；

（2）学校要求对不及格（60分以下）的同学进行补考，现按比例分配的分层随机抽样的方法在成绩为[50，70）的同学中抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率.

解：（1）由题意得（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1，

解得a＝0.005，

平均成绩为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5.

（2）由题意知抽取的5人中，成绩在[50，60）内的有2人，记为a，b；成绩在[60，70）内的有3人，记为A，B，C.

随机试验的所有可能结果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个，

其中至少有1人需要补考的结果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，共7个.

所以所求概率为P＝.

11.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x²－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.1

解析：C　因为a∈A，b∈A，所以（a，b）的结果可用列表法得到，样本点的总个数为9（如下表所示）.

因为A∩B＝B，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝⌀时，a²－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为.

12.某校从高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高（单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间），将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，y，则｜x－y｜≤5的概率为（）

A.B.

C.D.

解析：A　由频率分布直方图，可知身高在[180，185）的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a，b，c，d；身高在[190，195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组（x，y）表示样本点，M＝“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180，185），则M＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6种情况；若x，y∈[190，195]，则M＝{（A，B）}，共1种情况；若x∈[180，185），y∈[190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），则M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8种情况.所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的样本点个数为6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝.

13.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/米²）如下表所示：

（1）从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.78米以下的概率；

（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率.

解：（1）由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E₁的样本空间Ω₁＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.

设事件M表示“选到的2人的身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，

所以P（M）＝＝.

（2）从该小组同学中任选2人，这一试验E₂的样本空间Ω₂＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，故属于古典概型.

设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9）中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P（N）＝.

14.如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率为.

解析：由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为（3→1→3→1），（3→1→3→2），（3→1→3→4），（3→1→3→5），（3→2→3→2），（3→2→3→1），（3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4），（3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5），（3→5→3→5），（3→5→3→1），（3→5→3→2），（3→5→3→4），共16个，满足题意的样本点为（3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3个.由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.

15.随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，某“网红”甜品店出售几种甜品，为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了本店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得到如下表格：

（利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值）

（1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率；

（2）假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x₁元，销售一份B甜品获利x₂元，销售一份C甜品获利x₃元，销售一份D甜品获利x₄元，销售一份E甜品获利x₅元，设＝“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过元的概率.

解：（1）由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份，

设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A，

则P（A）＝.

（2）由题意得甜品A，B，C，D，E分别获利为8，5，3，10，3.

所以＝＝A甜品和D甜品获利超过“网红甜品”中随机卖出2种不同甜品，共含有10个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.设“至少有一种甜品获利超过元”为事件M，则事件M包含7个样本点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，所以至少有一种甜品获利超过元的概率为P（M）＝.

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