【免费下载】25-26学年同步培优讲义第1课时 导数与函数的单调性(教师版

5.3.1　函数的单调性

第1课时导数与函数的单调性

研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.

【问题】函数的单调性与导数有什么关系？

知识点一函数的单调性与导数的关系

定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：

提醒若在某区间内有有限个点使f'（x）＝0，在其余的点恒有f'（x）＞0（＜0），则f（x）在该区间上单调递增（递减）.

知识点二　函数值变化快慢与导数的关系

设函数y＝f（x），在区间（a，b）上：

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数f（x）在定义域上都有f'（x）＜0，则函数f（x）在定义域上是减函数.（×）

（2）函数f（x）在某区间内单调递增，则一定有f'（x）＞0.（×）

（3）函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.（√）

2.函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是（）

A.（0，1）B.（0，＋∞）

C.（1，2）D.（2，＋∞）

解析：A　f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，则f（x）的单调递增区间是（0，1）.

3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）上的单调性是（）

A.先增后减B.先减后增

C.单调递增D.单调递减

解析：D易知f'（x）＝－sinx－1，x∈（0，π），∴f'（x）＜0，则f（x）＝cosx－x在（0，π）上单调递减.

【例1】（1）下列函数中，在（1，＋∞）上单调递增的是（）

A.y＝x³－3xB.y＝ln x－x

C.y＝x＋D.y＝x²－3x＋1

（2）（2024·枣庄月考）函数y＝xln x在（0，5）上的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.在（0，）上单调递减，在（）上单调递增

D.在（0，）上单调递增，在（）上单调递减

答案：（1）A（2）C

解析：（1）由y＝x³－3x可得y'＝3x²－3，当x∈（1，＋∞）时，y'＞0，y＝x³－3x单调递增，故A满足题意；由y＝lnx－x可得y'＝－1，当x∈（1，＋∞）时，y'＜0，y＝lnx－x单调递减，故B不满足题意；易知y＝x＋在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故C不满足题意；易知y＝x²－3x＋1在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，故D不满足题意，故选A.

（2）由已知得函数y＝xlnx的定义域为（0，＋∞）.y'＝lnx＋1，令y'＞0，得x＞；令y'＜0，得0＜x＜.∴函数y＝xlnx在（0，）上单调递减，在（）上单调递增.

通性通法

利用导数判断函数的单调性的策略

利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论.

【跟踪训练】

（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）

A.y＝2x³＋4xB.y＝x＋sin（－x）

C.y＝log₂｜x｜D.y＝2^x－2^－x

解析：ABD由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，y'＝6x²＋4＞0，所以y＝2x³＋4x在（0，1）上单调递增；对于选项B，y'＝1－cos（－x）≥0，且y'不恒为0，所以y＝x＋sin（－x）在（0，1）上单调递增；对于选项D，y'＝2^xln2＋2^－xln2＞0，所以y＝2^x－2^－x在（0，1）上单调递增.故选A、B、D.

【例2】求下列函数的单调区间：

（1）f（x）＝x³－4x²＋4x－1；

（2）f（x）＝（x＞0且x≠1）.

解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x²－8x＋4.

令3x²－8x＋4＝0，解得x＝或x＝2.

当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示：

所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，）和（2，＋∞），单调递减区间为（）.

（2）法一（列表法）函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－

令f'（x）＝0，得x＝.

列表如下：

所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（），（1，＋∞）.

法二（解不等式法）函数的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－

由f'（x）＞0，得lnx＋1＜0，所以0＜x＜.

由f'（x）＜0，得lnx＋1＞0，所以x＞.

又因为x≠1，所以＜x＜1或x＞1.

所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（）和（1，＋∞）.

通性通法

利用导数求函数单调区间的方法

（1）列表法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③确定零点：判断导函数f'（x）有无零点，若有零点，通过解方程f'（x）＝0求出零点；④列表：用f'（x）的零点和函数的无定义点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负；⑤得结论：由此得出函数f（x）在定义域内的单调性.

（2）解不等式法：①求定义域：确定函数f（x）的定义域；②求导：求f'（x）；③解不等式：在定义域内，令f'（x）＞0，解得函数f（x）的单调递增区间；令f'（x）＜0，解得函数f（x）的单调递减区间.

【跟踪训练】

求下列函数的单调区间：

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝2x²－ln x.

解：（1）函数f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.

f'（x）＝＝.因为x∈（－∞，2）∪（2，＋∞），所以e^x＞0，（x－2）²＞0.

令f'（x）＝0可得x＝3，则f'（x）在各区间的正负，以及f（x）的单调性如表所示：

所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）和（2，3）.

（2）函数f（x）＝2x²－lnx的定义域为（0，＋∞）.

f'（x）＝4x－＝.

因为x＞0，所以2x＋1＞0，由f'（x）＞0，解得x＞f（x）的单调递增区间为（，＋∞）；

由f'（x）＜0，解得x＜，

又x∈（0，＋∞），所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）.

【例3】已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，试画出函数f（x）的大致图象.

解：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致形状如图所示.

通性通法

研究函数图象与导函数图象之间关系的方法

导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调递减区间）.

【跟踪训练】

1.（2024·宁德月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（）

解析：D因为函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都单调递减，所以当x＞0时f'（x）＜0，当x＜0时f'（x）＜0.

2.已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（）

解析：C由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增；当0＜x＜x₁时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x₁时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确.

1.函数f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（）

A.是增函数B.是减函数

C.先增后减D.先减后增

解析：B∵f'（x）＝cosx－2＜0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.

2.（2024·惠州月考）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（）

解析：D由导函数不是常数函数，排除A；由导函数f'（x）的图象可知，f'（x）≥0，当且仅当x＝0时，f'（x）＝0，所以函数f（x）是增函数，故排除C；又f'（0）＝0，故排除B；满足条件的只有D.故选D.

3.函数f（x）＝x³－3x的单调递减区间为（－1，1）.

解析：对f（x）求导得f'（x）＝3x²－3＝3（x＋1）（x－1），令f'（x）＜0，解得－1＜x＜1.故f（x）的单调递减区间为（－1，1）.

4.证明：函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.

证明：由题意，得f'（x）＝＝.

∵0＜x＜2，∴lnx＜ln2＜1，∴1－lnx＞0，

∴f'（x）＝＞0.

根据导数与函数单调性的关系，可知函数f（x）＝在区间（0，2）上单调递增.

1.对于函数y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：A由f'（x）＞0⇒函数f（x）为增函数，但函数f（x）为增函数⇒/f'（x）＞0，知“f'（x）＞0”是“函数y＝f（x）为增函数”的充分不必要条件.

2.已知函数f（x）＝f（x）（）

A.在（0，1）上单调递增

B.在（1，2）上单调递增

C.在（－∞，1）上单调递减

D.在（0，＋∞）上单调递减

解析：A　f'（x）＝f'（x）＞0得x＜1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，令f'（x）＜0得x＞1，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减，故选A.

3.已知f（x）在R上是可导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f'（x）＞0的解集为（）

A.（－2，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）D.（－2，－1）∪（1，2）

解析：C因为f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.

4.（2024·威海月考）函数f（x）＝x－2sin x＋1在（0，π）上的单调递增区间是（）

A.（0，）B.（）

C.（0，）D.（）

解析：D　f（x）＝x－2sinx＋1，令f'（x）＝1－2cosx＞0，即cosx＜x∈（0，π），所以＜x＜π，故f（x）在（0，π）上的单调递增区间为（）.

5.（多选）下列函数在（－∞，＋∞）上是单调函数的是（）

A.y＝x³＋x－1B.y＝sin x－x

C.y＝xe^x＋1D.y＝e^x－x

解析：AB由y＝x³＋x－1，得y'＝3x²＋1≥1，所以函数是增函数，A满足题意；由y＝sinx－x，得y'＝cosx－1≤0，所以函数是减函数，B满足题意；由y＝xe^x＋1，得y'＝e^x（x＋1），当x≥－1时，y'＝e^x（x＋1）≥0，函数单调递增，当x＜－1时，y'＝e^x（x＋1）＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，C不满足题意；由y＝e^x－x，得y'＝e^x－1，当x≥0时，y'＝e^x－1≥0，函数单调递增，当x＜0时，y'＝e^x－1＜0，函数单调递减，故函数在（－∞，＋∞）上不是单调函数，D不满足题意.

6.（多选）设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（）

解析：ABCA、B、C均有可能；对于D，若C₁为导函数，则y＝f（x）应为增函数，不符合；若C₂为导函数，则y＝f（x）应为减函数，也不符合.

7.已知函数f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是（－1，2），（4，＋∞）.

解析：由题图可知，在区间（－1，2），（4，＋∞）上f'（x）＞0；在区间（－∞，－1），（2，4）上f'（x）＜0.由导函数的正负与函数单调性的关系可得，函数f（x）的单调递增区间是（－1，2），（4，＋∞）.

8.若函数f（x）的导函数为f'（x）＝x²－4x＋3，则函数f（1＋x）的单调递减区间是（0，2）.

解析：令f'（x）＝x²－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函数f（1＋x）的单调递减区间为（0，2）.

9.（2024·开封月考）函数f（x）＝x²－5x＋2ln（2x）的单调递增区间是，（2，＋∞）.

解析：f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝f'（x）＞0得x＞2或0＜x＜f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）.

10.判断函数f（x）＝2x（e^x－1）－x²的单调性.

解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（e^x－1＋xe^x－x）＝2（e^x－1）（x＋1）.

当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＞0；

当x∈（－1，0）时，f'（x）＜0；

当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0.

故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减.

11.函数f（x）＝xcos x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致是（）

解析：A因为f（x）＝xcosx，所以f'（x）＝cosx－xsinx.因为f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）为偶函数，所以函数图象关于y轴对称.由f'（0）＝1可排除C、D.而f'（1）＝cos1－sin1＜0，排除B.

12.定义在R上的可导函数f（x），已知y＝e^f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的单调递增区间是（）

A.（－∞，1）B.（－∞，2）

C.（0，1）D.（1，2）

解析：B由题图知f'（x）≥0的区间是（－∞，2），故函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，2），故选B.

13.（2024·泉州月考）设函数f（x）＝4ln x－x²＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.（0，3]B.（0，2]

C.[3，＋∞）D.[2，＋∞）

解析：A由函数f（x）＝4lnx－x²＋3x，可得f'（x）＝－x＋3＝＞0，令f'（x）≥0，即≥0，即－x²＋3x＋4≥0，解得0＜x≤4，所以函数f（x）在（0，4]上单调递增，又由函数f（x）在[a，a＋1]上单调递增，所以解得0＜a≤3，故选A.

14.已知函数f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）利用（1）的结论证明当x∈（1，＋∞）时ln x＜x－1.

解：（1）∵f'（x）＝－1＝

∴当x＞1时，f'（x）＜0；当0＜x＜1时，f'（x）＞0.

∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）.

（2）证明：由（1）知f（x）＝lnx－x＋1在（1，＋∞）上单调递减，

∴f（x）＜f（1）＝0，即lnx＜x－1.

15.（多选）若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上单调递增，且F（x）＝在区间I上也单调递增，则称y＝f（x）是I上的“一致递增函数”.已知f（x）＝x＋f（x）是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（）

A.（－∞，－2）B.（－∞，0）

C.（0，＋∞）D.（2，＋∞）

解析：AD　f（x）＝x＋f'（x）＝；F（x）＝＝1＋F'（x）＝x∈（－∞，－2）时，f'（x）＝＞＞0，函数单调递增，F'（x）＝＞0，函数单调递增，A满足；f'（－）＝＜0，故B不满足；F'（1）＝－e＜0，故C不满足；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＝＞0，函数单调递增，F'（x）＝＞0，函数单调递增，故D满足.

16.（2024·临沂质检）已知函数f（x）＝（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.

（1）求实数k的值；

（2）求函数f（x）的单调区间.

解：（1）由f（x）＝f'（x）＝.

∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，

∴f'（1）＝0，即＝0，解得k＝1.

（2）由（1）知，f'（x）＝（x＞0），

设h（x）＝－lnx－1（x＞0），则h'（x）＝－－＜0.