【免费下载】25-26学年同步培优讲义培优课 数列的函数特征(教师版

培优课数列的函数特征

【例1】数列{a_n}满足a_n＋1＝1－a₁＝2，则a₂₀＝（）

A.B.－1

C.2D.1

解析：A由a_n＋1＝1－及a₁＝2，得a₂＝₃＝－1，a₄＝2，至此可发现数列{a_n}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，….而20＝6×3＋2，故a₂₀＝a₂＝.

通性通法

利用数列的周期性求数列中某一项的步骤

（1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项；

（2）确定该数列的周期；

（3）利用周期性求出要求的项.

【跟踪训练】

（2024·临沂质检）数列{a_n}满足a₁＝3，a₂＝6，a_n＋2＝a_n＋1－a_n，则＝3.

解析：由a₁＝3，a₂＝6，a_n＋2＝a_n＋1－a_n，得a₃＝a₂－a₁＝3，a₄＝a₃－a₂＝－3，a₅＝a₄－a₃＝－6，a₆＝a₅－a₄＝－3，a₇＝a₆－a₅＝3，a₈＝a₇－a₆＝6，…，所以数列{a_n}是以6为周期的周期数列，所以＝a_6×337＋3＝a₃＝3.

角度1数列单调性的判断

【例2】已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝3n²－n（n∈N^*），判断该数列的单调性.

解：法一　a_n＝3n²－n，a_n＋1＝3（n＋1）²－（n＋1），

则a_n＋1－a_n＝3（n＋1）²－（n＋1）－（3n²－n）＝6n＋2＞0，

即a_n＋1＞a_{n，故数列}{a_n}是递增数列.

法二　a_n＝3n²－n，a_n＋1＝3（n＋1）²－（n＋1），

则＝＝·＞1.

又易知a_n＞0，故a_n＋1＞a_{n，即数列}{a_n}是递增数列.

通性通法

解决数列的单调性问题的两种方法

（1）作差比较法：根据a_n＋1－a_n的符号判断数列{a_n}是递增数列、递减数列或是常数列；

（2）作商比较法：根据（a_n＞0或a_n＜0）与1的大小关系进行判断.

角度2数列单调性的应用

【例3】（2024·福州质检）已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝（n＋1）·（）ⁿ（n∈N^*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.

解：法一∵a_n＋1－a_n＝（n＋2）（）^n＋1－（n＋1）·（）ⁿ＝（）ⁿ·.

∴当n＜8时，a_n＋1－a_n＞0，即a_n＋1＞a_n；

当n＝8时，a₉－a₈＝0，即a₉＝a₈；

当n＞8时，a_n＋1－a_n＜0，即a_n＋1＜a_n；

故a₁＜a₂＜…＜a₈＝a₉＞a₁₀＞a₁₁＞…，

∴数列{a_n}中最大项为a₈或a_9，

其值为9·（）^{8，其项数为}8或9.

法二根据题意，令

即

解得8≤n≤9.

又n∈N^*，则n＝8或n＝9.

故数列{a_n}有最大项，为第8项和第9项，

且a₈＝a₉＝9·（）⁸.

通性通法

求数列最大项与最小项的常用方法

（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；

（2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项.

【跟踪训练】

1.若数列{a_n}的通项公式为a_n＝（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.以上都不是

解析：A因为a_n＝＝2－n≥2时，a_n－a_n－1＝（2－）－（2－）＝－＝＞0，所以数列{a_n}是递增数列.

2.已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝n－7，则数列{na_n}的最小项为第3或4项.

解析：na_n＝n（n－7）＝n²－7n＝（n－）²－.因为n∈N^{*，所以当}n＝3或n＝4时，数列{na_n}的项最小.

1.已知数列{a_n}满足a_n＞0，且a_n＋1＝a_{n，则数列}{a_n}是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.以上都不是

解析：B因为＝＜1，a_n＞0，所以a_n＋1＜a_{n，故数列}{a_n}为递减数列.

2.已知数列{a_n}满足a_n＋1＝a₁＝a_{2 025}＝（）

A.－1B.

C.1D.2

解析：A由a₁＝_n＋1＝得a₂＝2，a₃＝－1，a₄＝₅＝2，…，可知数列{a_n}是以3为周期的周期数列，因此a₂₀₂₅＝a_3×675＝a₃＝－1.

3.数列{－2n²＋29n＋3}中最大的项是（）

A.107B.108

C.108D.109

解析：B因为－2n²＋29n＋3＝－2（n²－n）＋3＝－2（n－）²＋n＝7时，－2n²＋29n＋3取得最大值108，故选B.

4.（2024·新乡质检）已知数列{a_n}中， a_n＝k·{a_n}是递增数列，试求实数k的取值范围.

解：因为a_n＝k·{a_n}是递增数列，所以a_n＋1－a_n＝k·－k·＝·＝－k·＞0对任意的n∈N^*恒成立，所以－k＞0，解得k＜0，

所以实数k的取值范围是.

1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝（）

A.递增数列B.递减数列

C.摆动数列D.常数列

解析：B因为a_n＝＝n的增大，2－是递增的，故a_n是递减的，则数列{a_n}是递减数列，故选B.

2.已知数列{a_n}中，a₁＝b（b为任意常数），a_n＋1＝－（n＝1，2，3，…），则能使a_n＝b的n的值是（）

A.14B.15

C.16D.17

解析：C　a₂＝－＝－₃＝－＝－＝－1－₄＝－＝－＝b.可见{a_n}是以前三项为一个周期的周期数列，所以a₁＝a₄＝a₇＝a₁₀＝a₁₃＝a₁₆＝…＝b.

3.（2024·湖州月考）对任意的a₁∈（0，1），由关系式a_n＋1＝f（a_n）得到的数列{a_n}满足a_n＋1＞a_n（n∈N^*），则函数y＝f（x）的图象可能是（）

解析：A根据题意，由关系式a_n＋1＝f（a_n）得到的数列{a_n}满足a_n＋1＞a_{n，即函数}y＝f（x）的图象上任一点（x，y）都满足y＞x.结合图象，可知只有A满足，故选A.

4.已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝（）

A.1，－B.0，－

C.，－D.1，－

解析：A因为n∈N^{*，所以当}1≤n≤3时，a_n＝＜0，且单调递减；当n≥4时，a_n＝＞0，且单调递减，所以最小项为a₃＝＝－a₄＝＝1.故选A.

5.设数列{a_n}的通项公式为a_n＝n²＋bn，若数列{a_n}是递增数列，则实数b的取值范围为（）

A.[1，＋∞）B.[－2，＋∞）

C.（－3，＋∞）D.（－，＋∞）

解析：C因为函数f（n）＝n²＋bn图象的对称轴方程为n＝－－＜b＞－3时，单调递增.

6.（多选）若数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，a_na_n－2＝a_n－1（n≥3），记数列{a_n}的前n项积为T_{n，则下列说法正确的是}（）

A.T_n无最大值 B.a_n有最大值

C.T_{2 024}＝1D.a_{2 024}＝2

解析：BD∵a₁＝1，a₂＝2，a_na_n－2＝a_n－1（n≥3），∴a₃＝2，a₄＝1，a₅＝₆＝₇＝1，a₈＝2，…，因此数列{a_n}是周期为6的周期数列，a_n＋6＝a_n，∴a_n有最大值2，a₂₀₂₄＝a₂＝2，又∵T₁＝1，T₂＝2，T₃＝4，T₄＝4，T₅＝2，T₆＝1，T₇＝1，T₈＝2，…，∴{T_n}是周期为6的周期数列，T_n＋6＝T_n，∴T_n有最大值4，T₂₀₂₄＝T₂＝2.故选B、D.

7.数列{（n－a）²}是递增数列，则实数a的取值范围是（－∞，）.

解析：因为{（n－a）²}是递增数列，记a_n＝（n－a）^2，则a_n＋1－a_n＝（n＋1－a）²－（n－a）²＝2n＋1－2a＞0，所以a＜对任意的n∈N^*恒成立，所以a＜.

8.（2024·泉州月考）请写出一个符合下列要求的数列{a_n}的通项公式：①{a_n}为无穷数列；②{a_n}为单调递增数列；③0＜a_n＜2.这个数列的通项公式可以是a_n＝2－（答案不唯一）.

解析：因为函数a_n＝2－的定义域为N^*，且a_n＝2－在N^*上单调递增，0＜2－＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a_n＝2－.

9.已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝｜n－｜，则a_n的最小项为　，此时n的值为3.

解析：因为a_n＝｜n－｜，所以当n＝1，2，3时，a_n＝－n，此时a_n的最小项为n＝3；当n＞3，n∈N^*时，a_n＝n－a_n的最小项为n＝4.综上所述，a_n的最小项为n＝3.

10.在数列{a_n}中，已知a_n＝－（n≥2，n∈N^*）.

（1）求证a_n＋2＝a_n；

（2）若a₄＝4，求a₂₀的值；

（3）若a₁＝1，求a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＋a₇的值.

解：（1）证明：当n≥1时，因为a_n＋2＝a_n＋1＋1＝－＝－＝a_n，所以a_n＋2＝a_n成立.

（2）由（1）知数列{a_n}是以2为周期的周期数列，所以a₂₀＝a₄＝4.

（3）因为a₁＝1，所以a₂＝－1，因为数列的周期为2，所以（a₁＋a₂）＋（a₃＋a₄）＋（a₅＋a₆）＋a₇＝a₁＝1.

11.已知函数f（x）＝2^x－2^{－x，数列}{a_n}满足f（log₂a_n）＝－2n.

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）讨论数列{a_n}的单调性，并证明你的结论.

解：（1）∵f（x）＝2^x－2^－x，f（log₂a_n）＝－2n（a_n＞0），∴－＝－2n，∴a_n－＝－2n.∴＋2na_n－1＝0，解得a_n＝－n±.∵a_n＞0，∴a_n＝－n.

（2）∵＝＝＜1，a_n＞0，∴a_n＋1＜a_n，∴数列{a_n}是递减数列.

12.已知数列{a_n}中，a_n＝1＋（n∈N^*，a∈R且a≠0）.

（1）若a＝－7，求数列{a_n}中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，求a的取值范围.

解：（1）当a＝－7时，a_n＝1＋（n∈N^*）.

结合函数f（x）＝1＋的单调性，

可知1＞a₁＞a₂＞a₃＞a_4，a5＞a₆＞a₇＞…＞a_n＞1（n∈N^*）.

∴数列{a_n}中的最大项为a₅＝2，最小项为a₄＝0.

（2）a_n＝1＋＝1＋

已知对任意的n∈N^*，都有a_n≤a₆成立，

结合函数f（x）＝1＋的单调性，

可知5＜＜6，即－10＜a＜－8，

即a的取值范围是（－10，－8）.