【免费下载】25-26学年同步培优讲义第1课时 直线与圆的位置关系(教师版

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系

2.5.1　直线与圆的位置关系

第1课时直线与圆的位置关系

“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.

【问题】（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？

（2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？

知识点直线与圆的位置关系

1.直线与圆的三种位置关系

2.直线与圆的位置关系的判断

【想一想】

1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？

提示：一定.

2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？

提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（×）

（2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（√）

（3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（√）

（4）过圆外一点的直线与圆相离.（×）

2.直线y＝x＋1与圆x²＋y²＝1的位置关系为（）

A.相切B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心D.相离

解析：B圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，所以直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.

3.直线x＋y＋m＝0与圆x²＋y²＝m相切，则m的值为（）

A.0或2B.2

C.D.无解

解析：B由于直线与圆相切，故＝m＝0（舍去）或m＝2.

4.圆（x－1）²＋（y＋4）²＝25在x轴截得的弦长是（）

A.8B.6

C.5D.6

解析：B令y＝0，得（x－1）²＝9，所以x－1＝±3，所以x₁＝－2，x₂＝4，故所求弦长为｜x₁－x₂｜＝6.故选B.

【例1】（2024·滨州月考）若直线4x－3y＋a＝0与圆x²＋y²＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a的取值范围.

解：法一（代数法）由消去y，得25x²＋8ax＋a²－900＝0，

Δ＝（8a）²－4×25（a²－900）＝－36a²＋90 000.

①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a²＋90 000＞0，解得－50＜a＜50.

②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50.

③当直线和圆相离时，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.

法二（几何法）圆x²＋y²＝100的圆心为（0，0），半径r＝10，

则圆心到直线的距离d＝＝.

①当直线和圆相交时，d＜r，

即＜10，－50＜a＜50.

②当直线和圆相切时，d＝r，

即＝10，a＝50或a＝－50.

③当直线和圆相离时，d＞r，

即＞10，a＜－50或a＞50.

通性通法

直线与圆的位置关系的判断方法

（1）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离.

（2）代数法：Δ＝b²－4ac

【跟踪训练】

1.已知圆C：x²＋y²－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（）

A.l与C相交B.l与C相切

C.l与C相离D.以上三个选项均有可能

解析：A将点P（3，0）代入圆的方程，得3²＋0²－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交.

2.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）²＋（y－1）²＝2没有公共点，则实数a的取值范围是（）

A.（－∞，－）∪（，＋∞）

B.（，＋∞）

C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D.（2，＋∞）

解析：C由题意得圆心坐标为（a，1），半径为＞a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 

【例2】（2024·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）²＋（y＋3）²＝1引切线，求其切线方程.

解：由于（2－1）²＋（4＋3）²＝50＞1，故点M在圆外.

当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），

即kx－y＋4－2k＝0，

由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝.

所以切线方程为24x－7y－20＝0.

又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.

综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.

【母题探究】

1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？

解：由于（1－1）²＋（－2＋3）²＝1，

故点M在圆上，

设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在.

因为圆的切线垂直于经过切点的半径，

所以所求切线的斜率k＝0，

所以切线方程为y＝－2.

2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？

解：由题知，设切线长为d，

d＝

＝＝7.

通性通法

1.过圆上一点（x_0，y0）的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－.如果切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y₀或x＝x₀.

2.过圆外一点（x_0，y0）的圆的切线方程的求法

设切线方程为y－y₀＝k（x－x₀），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x_{0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条}.

3.求切线长（最值）的两种方法

（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

【跟踪训练】

1.若直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）²＋y²＝2相切，则a＝（）

A.0B.－4或2

C.2D.0或－4

解析：D由圆O：（x－a）²＋y²＝2可得圆心O（a，0），半径r＝x－y＋2＝0与圆O：（x－a）²＋y²＝2相切，所以圆心O（a，0）到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝｜a＋2｜＝2，所以a＝0或a＝－4，故选D.

2.由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）²＋y²＝1引切线，则该切线长的最小值为（）

A.1B.2

C.D.3

解析：C圆心C（3，0）到y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝.

【例3】过圆x²＋y²＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，求弦AB的长.

解：法一设A（x_1，y1），B（x_2，y2）.由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.

由消去y，得2x²－2x－7＝0，所以x₁＋x₂＝1，x₁x₂＝－

所以｜AB｜＝｜x₁－x₂｜＝·＝·＝（k为直线l的斜率）.

法二由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.

圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝

则有｜AB｜＝2＝.

通性通法

求弦长常用的3种方法

（1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d²＝r²解题；

（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；

（3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点（x_1，y1），（x_2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x₁－x₂｜＝.

【跟踪训练】

1.（2024·丽水质检）若点P（2，－1）为圆（x－1）²＋y²＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）

A.2x－y－5＝0B.2x＋y－3＝0

C.x＋y－1＝0D.x－y－3＝0

解析：D∵AB是圆（x－1）²＋y²＝25的弦，圆心为C（1，0），AB的中点P（2，－1）满足AB⊥CP，∴AB的斜率k＝＝＝1，可得直线AB的方程为y＋1＝x－2，化简得x－y－3＝0，故选D.

2.若直线x－y＝2被圆（x－a）²＋y²＝4所截得的弦长为2a的值为.

答案：0或4

解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2d＝＝.又d＝｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0.

1.（2024·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）²＋（y＋1）²＝m相离，则实数m的取值范围是（）

A.（0，2]B.（1，2]

C.（0，2）D.（1，2）

解析：C由题意得圆心到直线的距离为d＝＞m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C.

2.（多选）若直线3x＋4y＝b与圆x²＋y²－2x－2y＋1＝0相切，则b＝（）

A.－2B.－12

C.2D.12

解析：CD圆的方程为x²＋y²－2x－2y＋1＝0，可化为（x－1）²＋（y－1）²＝1，由圆心（1，1）到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或12.

3.若圆C的圆心为（3，0），直线l：x－y－1＝0被该圆所截得的弦长为2C的标准方程.

解：设圆的半径为r，依题意，圆心（3，0）到直线x－y－1＝0的距离为＝

则由垂径定理得r²＝（）²＋（）²＝4，∴r＝2，

∴圆的标准方程为（x－3）²＋y²＝4.

圆的切线与切点弦

若P₀（x_0，y0）是圆O：x²＋y²＝r²上一点，则圆O的过点P₀的切线方程是x₀x＋y₀y＝r².事实上，因为点P₀（x_0，y0）在圆O：x²＋y²＝r²上，所以＋＝r^2，即x₀·x₀＋y₀·y₀＝r^{2，从而点}P₀在直线x₀x＋y₀y＝r²上.又因为圆心O到直线x₀x＋y₀y＝r²的距离d＝＝r，所以x₀x＋y₀y＝r²是圆O的过点P₀的切线方程.

【问题探究】

当点P₀（x_0，y0）在圆O外时，方程x₀x＋y₀y＝r²表示怎样的直线呢？

提示：如图，过P₀（x_0，y0）作圆O的两条切线，切点分别为A，B.

设A（x_1，y1），B（x_2，y2），则直线P₀A的方程为x₁x＋y₁y＝r².

因为P₀（x_0，y0）在直线P₀A上，所以x₁x₀＋y₁y₀＝r^2，

故（x_1，y1）满足方程x₀x＋y₀y＝r^2，

即点A在直线x₀x＋y₀y＝r²上.

同理点B在直线x₀x＋y₀y＝r²上.

所以x₀x＋y₀y＝r²是直线AB的方程，即切点弦所在直线的方程.

【迁移应用】

当点P₀（x_0，y0）在圆O内（异于点O）时，方程x₀x＋y₀y＝r²表示怎样的直线？

解：圆心O（0，0）到直线x₀x＋y₀y＝r²的距离d＝点P₀（x_0，y0）在圆O内，即＜r，

则d＞r，故直线与圆相离.

1.直线y＝ax＋1与圆x²＋y²－2x－3＝0的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.随a的变化而变化

解析：B∵直线y＝ax＋1恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆x²＋y²－2x－3＝0的内部，∴直线与圆相交.

2.直线x＋y＋12＝0被圆x²＋y²＝100所截得的弦长为（）

A.2B.4

C.8D.16

解析：D圆x²＋y²＝100的圆心坐标为（0，0），半径为10，圆心（0，0）到直线x＋y＋12＝0的距离d＝＝6，则直线x＋y＋12＝0被圆x²＋y²＝100所截得的弦长为2＝16.故选D.

3.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（）

A.（x－）²＋y²＝1B.（x－3）²＋y²＝3

C.（x－）²＋y²＝3D.（x－3）²＋y²＝9

解析：B由题意知所求圆的半径r＝＝（x－3）²＋y²＝3，故选B.

4.直线l与圆x²＋y²＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为（）

A.x－y＋5＝0B.x＋y－1＝0

C.x－y－5＝0D.x＋y－3＝0

解析：A由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有k_AB×k_MC＝－1⇒k_AB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.

5.（多选）（2024·汕尾月考）给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x²－4x＋y²＝m－5，则（）

A.实数m的取值范围为（0，＋∞）

B.当l与圆C相切时，m＝

C.当1＜m＜2时，l与圆C相离

D.当l与圆C相交时，m＞

解析：BC圆C：x²－4x＋y²＝m－5的标准方程为（x－2）²＋y²＝m－1，圆心为C（2，0），半径r＝.对于A：由r＝＞0，解得m＞1，故A错误；对于B：因为C（2，0）到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝l与圆C相切时，r＝＝m＝B正确；对于C：当1＜m＜2时，0＜r＜1＜l与圆C相离，故C正确；对于D：当l与圆C相交时，＞m＞D错误.故选B、C.

6.（多选）与圆C：x²＋y²－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（）

A.x＋y＝0B.x－y＝0

C.x＝0D.x＋y＝4

解析：ABD圆C的方程可化为（x－2）²＋y²＝2.可分为两种情况讨论：

①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝k＝±1，所以直线方程为y＝±x；

②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝a＝4（a＝0舍去），所以直线方程为x＋y－4＝0.

7.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x＋2y－5＝0.

解析：设切线斜率为k，则由已知得k·k_OP＝－1.

∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.

8.（2024·苏州月考）由直线y＝x＋1上的点向圆（x－3）²＋y²＝1作切线，则切线长的最小值为.

解析：切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，易知圆心（3，0）到直线的距离d＝＝2r＝1，所以切线长的最小值为＝＝.

9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）²＋（y－2）²＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为－或－.

解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.

10.已知直线l：2x＋y－4＝0和圆心为C的圆x²＋y²－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们的交点坐标.

解：由直线l和圆的方程，得

消去y，得5x²－12x＋4＝0.

∵Δ＝（－12）²－4×5×4＝64＞0，

∴直线l与圆C相交，有两个公共点.

由5x²－12x＋4＝0，得x₁＝2，x₂＝.

把x₁＝2代入方程①，得y₁＝0；把x₂＝代入方程①，得y₂＝.

∴直线l与圆相交，有两个公共点，它们的坐标分别是（2，0）和（）.

11.已知直线2x＋my－8＝0与圆C：（x－m）²＋y²＝4相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数m＝（）

A.2B.14

C.2或14D.1

解析：C由题意知圆C的半径r＝2，则有｜AC｜＝｜BC｜＝2.因为△ABC为等腰直角三角形，则圆心（m，0）到直线的距离d＝r＝d＝＝m＝14或m＝2.故选C.

12.（2024·济宁质检）直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足（）

A.｜b｜＝B.－1＜b≤1或b＝－

C.－1≤b＜1D.非以上答案

解析：B曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝（即x²＋y²＝1，x≥0）的图象，如图所示.当直线与曲线相切时，b＝－－1＜b≤1.

13.（多选）已知圆C：x²＋y²－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（）

A.直线l与圆C的位置关系无法判定

B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2

C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0

D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆

解析：BCD由x²＋y²－6x－8y＋21＝0，得（x－3）²＋（y－4）²＝4，所以圆心C的坐标为（3，4），半径为2.由直线l的方程可得y－3＝k（x－4），则直线l恒过定点（4，3），此点在圆C内，故直线l与圆C相交.故A错误；当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0.设圆心C（3，4）到直线l的距离为d，则d＝＝C上的点到直线l的最远距离为＋2.故B正确；当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C（3，4）到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0.故C正确；设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确.故选B、C、D.