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2025年全国统一高考数学试卷

（新高考Ⅱ卷）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）

A．8B．9C．12D．18

2．已知，则（）

A．B．C．D．1

3．已知集合则（）

A．B．

C．D．

4．不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

5．在中，，则（）

A．B．C．D．

6．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（）

A．3B．4C．5D．6

7．记为等差数列的前n项和，若则（）

A．B．C．D．

8．已知，则（）

A．B．C．D．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（）

A．B．

C．D．

10．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（）

A．B．当时，

C．当且仅当D．是的极大值点

11．双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（）

A．B．

C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知平面向量若，则

13．若是函数的极值点，则

14．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．已知函数．

(1)求;

(2)设函数，求的值域和单调区间．

16．已知椭圆的离心率为，长轴长为4．

(1)求C的方程；

(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．

17．如图，在四边形中，为CD的中点，点E在AB上，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．

(1)证明:平面；

(2)求面与面所成的二面角的正弦值．

18．已知函数，其中．

(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)设分别为在区间的极值点和零点.

（i）设函数·证明：在区间单调递减；

（ii）比较与的大小，并证明你的结论．

19．甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．

(1)求（用p表示）．

(2)若，求p．

(3)证明：对任意正整数m，．

1．C

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

【详解】样本数据的平均数为.

故选：C.

2．A

【分析】由复数除法即可求解.

【详解】因为，所以.

故选：A.

3．D

【分析】求出集合后结合交集的定义可求.

【详解】，故，

故选：D.

4．C

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

【详解】即为即，故，

故解集为，

故选：C.

5．A

【分析】由余弦定理直接计算求解即可.

【详解】由题意得，

又，所以.

故选：A

6．C

【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.

【详解】对，令，则，

所以即抛物线，故抛物线的准线方程为，

故，则，代入抛物线得.

所以.

故选：C

7．B

【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式

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