【免费下载】25-26学年同步培优讲义2.1.1 倾斜角与斜率(教师版

第二章　直线和圆的方程

2.1　直线的倾斜角与斜率

2.1.1　倾斜角与斜率

经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线.

【问题】如图所示，过同一点的直线l_{1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么}？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？

知识点一直线的倾斜角

1.定义：

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴　正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l'的倾斜角是∠BPx.

2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°　，并规定当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.

提醒在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角.

知识点二直线的斜率

1.定义：一条直线的倾斜角α的　正切　值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.

2.斜率公式：经过两点P₁（x_1，y1），P₂（x_2，y2）（x₁≠x₂）的直线的斜率公式为k＝.当x₁＝x₂时，直线P₁P₂没有斜率.

【想一想】

1.任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？

提示：任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.

2.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？

提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为和－＞－.应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述结论在这两个区间分别成立.

知识点三直线的方向向量

设P₁（x_1，y1），P₂（x_2，y2）（x₁≠x₂）是直线l上的两点，则向量＝（x₂－x_1，y2－y₁）以及与它平行的向量都是直线的　方向向量　.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°.（×）

（2）若k是直线的斜率，则k∈R.（√）

（3）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.（×）

2.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（）

A.B.

C.1D.

解析：A由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.

3.过点P（2，1），Q（4，5）的直线斜率为（）

A.1B.2

C.3D.

解析：B直线的斜率k＝＝2，故选B.

4.已知直线l的一方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为60°.

解析：∵直线l的斜率k＝＝tan α＝0°≤α＜180°，故直线l的倾斜角为60°.

【例1】（1）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（D）

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.

（2）已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（C）

A.0°≤α＜90°B.90°≤α＜180°

C.90°＜α＜180°D.0°＜α＜180°

解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.

通性通法

直线倾斜角的求法及注意点

（1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；

（2）注意倾斜角的范围.

【跟踪训练】

1.（2024·丽水月考）已知直线l₁的倾斜角α₁＝60°，直线l₂与l₁垂直，则直线l₂的倾斜角α₂为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：D画出示意图如图所示.因为直线l₂与l₁垂直，所以α₂＝α₁＋90°＝150°，即直线l₂的倾斜角为150°.

2.（多选）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l_1，那么l₁的倾斜角可能为（）

A.α＋45°B.α－135°

C.135°－αD.α－45°

解析：AB根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知：当0°≤α＜135°，l₁的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l₁的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.

【例2】（2024·江门质检）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并指出直线的倾斜角α.

（1）A（2，3），B（4，5）；

解：（1）存在.直线AB的斜率k_AB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.

（2）C（－2，3），D（2，－1）；

（2）存在.直线CD的斜率k_CD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.

（3）P（a，2），Q（3，6）.

（3）当a＝3时，斜率不存在，直线的倾斜角为90°；当a≠3时，直线的斜率k＝且倾斜角α满足tan α＝.

通性通法

解决斜率问题的方法

（1）由倾斜角（范围）求斜率（范围），利用定义式k＝tan α（α≠90°）解决；

（2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝（x₁≠x₂）求解.

【跟踪训练】

1.已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝－5.

解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝＝－1，得y＝－5.

2.（2024·阳江月考）直线l₁经过两点A（0，0），B（），直线l₂的倾斜角是直线l₁的倾斜角的2倍，则l₂的斜率为.

解析：因为直线l₁的斜率为＝l₁的倾斜角为.又因为直线l₂的倾斜角是直线l₁的倾斜角的2倍，所以直线l₂的倾斜角为tan＝.

【例3】（1）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数m＝3；

解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且k_AB＝_AC＝＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且k_AB＝k_AC，即＝－1，解得m＝3.

（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的范围为（－∞，－]∪[1，＋∞）　，倾斜角的范围为.

解析：如图所示.因为k_AP＝＝1，k_BP＝＝－.所以k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）.所以≤α≤.

通性通法

1.用斜率公式解决三点共线的方法

2.求代数式最值或范围的方法

由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.

【跟踪训练】

（2024·安阳月考）已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（）

A.（－1，0]B.[0，1]

C.[1，2]D.[0，2]

解析：D如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.

1.（2024·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（）

解析：A结合直线l的倾斜角的定义可知A可以.

2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（）

A.（4，2）与（－4，1）B.（0，3）与（3，0）

C.（3，－1）与（2，－1）D.（－2，2）与（－2，5）

解析：DD项，因为x₁＝x₂＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.

3.过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝（）

A.－B.

C.－1D.1

解析：C法一由直线的方向向量为n＝（－1，－1），得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1.

法二由题意得＝（－2，－3－y）.又直线AB的一个方向向量为n＝（－1，－1），所以n∥（－2）×（－1）－（－3－y）×（－1）＝0，解得y＝－1.

1.给出下列命题，其中为真命题的是（）

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角

B.一条直线的倾斜角可以为－30°

C.倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴

D.若α是直线l的倾斜角，且sin α＝α＝45°

解析：A任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B、C错误.D中α有可能为135°，故D错误.

2.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.150°

C.60°D.120°

解析：B由题意知k＝＝－直线的倾斜角为150°.

3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（）

A.2B.1

C.－1D.－2

解析：A由题意知，tan 45°＝m＝2.

4.（2024·佛山月考）已知直线PQ的斜率为－PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是（）

A.0B.

C.D.－

解析：C由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为.

5.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：B若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.

6.（多选）已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若k_AB＝4，则点B的坐标可能为（）

A.（0，－4）B.（4，0）

C.（2，0）D.（0，－8）

解析：CD设B（x，0）或（0，y），因为k_AB＝或k_AB＝＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）.

7.（2024·南平月考）已知点A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m＝4.

解析：由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.所以k_AC＝_BC＝.所以＝3×.整理，得－m－1＝（m－5）（m＋1），即（m＋1）（m－4）＝0.解得m＝4或m＝－1（舍去）.所以m＝4.

8.一束光线射到x轴上并经x轴反射，已知入射光线的倾斜角α₁＝30°，则反射光线的倾斜角α₂＝150°.

解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射光线的倾斜角α₁＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.

9.（2024·福州质检）如图，已知直线l₁的倾斜角是150°，l₂⊥l_{1，垂足为}B.l_1，l2与x轴分别相交于点C，A，l₃平分∠BAC，则l₃的倾斜角为30°.

解析：因为直线l₁的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l₃的倾斜角为×（90°－30°）＝30°.

10.已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值时：

（1）直线l与x轴平行？

解：若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1.

（2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）.

解：直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝＝m＝.

（3）直线的倾斜角为45°？

解：由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1， 解得m＝0.

11.（2024·重庆质检）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜P_iP_i＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜A_iA_i＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚P_1，A1满足｜OP₁｜＝66 m，｜OA₁｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（）

A.±0.47B.±0.45

C.±0.42D.±0.40

解析：C根据题意，得｜OA₁₀｜＝｜OA₁｜＋｜A₁A₁₀｜＝86＋9×16＝230 m，｜OP₁₀｜＝｜OP₁｜＋｜P₁P₁₀｜＝66＋9×3.4＝96.6 m.则右侧最长拉索所在直线的斜率＝－tan∠OA₁₀P₁₀＝－＝－0.42，同理，左侧最长拉索所在直线的斜率＝0.42.故选C.

12.（多选）如图，直线l_1，l2，l3的斜率分别为k_{1，k2，k3，倾斜角分别为}α_{1，α2，α3，则下列选项正确的是}（）

A.k₁＜k₃＜k₂B.k₃＜k₂＜k₁

C.α₁＜α₃＜α₂D.α₃＜α₂＜α₁

解析：AD由题图可知k₂＞k₃＞0，k₁＜0，故＞α₂＞α₃＞0，且α₁为钝角，即k₁＜k₃＜k_2，α3＜α₂＜α_1，故选A、D.

13.过点M（0，1）和N（1，m²＋1）（m∈R）的直线的倾斜角的范围是［0，）.

解析：由题意知，直线MN的斜率为k＝＝m²≥0.设直线MN的倾斜角为θ，则tan θ≥0.又θ∈[0，π），所以θ∈［0，）.

14.（2024·南阳质检）已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点.

（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值；

解：过A，C两点的直线的斜率为k_AC＝＝2－m，

又直线AC的倾斜角为45°，

所以k_AC＝tan 45°＝1＝2－m，解得m＝1.

（2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.

解：能.由题意知k_AC＝＝2－m，k_AB＝＝－1.

若A，B，C三点共线，则有k_AB＝k_AC，即－1＝2－m，

解得m＝3，所以A，B，C三点能共线，且m＝3.

15.（2024·泉州月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x_{1，x2，…，xn，使得}＝＝…＝n的取值范围是（）

A.{3，4}B.{2，3，4}

C.{3，4，5}D.{2，3}

解析：B由题意，函数y＝f（x）的图象上的任一点坐标为（x，f（x）），故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若＝＝…＝n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f（x）有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4.

16.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）.

（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.

解：（1）由斜率公式得k_AB＝＝0，

k_BC＝＝_AC＝＝.

又倾斜角的取值在[0°，180°）范围内，

∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°.

∵tan 60°＝直线BC的倾斜角为60°.

∵tan 30°＝直线AC的倾斜角为30°.

（2）如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，

直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由k_CA增大到k_CB，∴k的取值范围为.

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