【免费下载】25-26学年同步培优讲义4.5.2 用二分法求方程的近似解(教师版

4.5.2用二分法求方程的近似解

电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一直猜下去，直到猜中为止.

【问题】（1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？

（2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？

知识点一二分法

提醒用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x^{2，该函数有零点为}0，但不能用二分法求解.

知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤

提醒二分法求函数零点近似值口诀

定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？精确度上来判断.

1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）

解析：C只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不断，可以利用二分法求解.

2.用二分法研究函数f（x）＝x³＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x₀∈（0，0.5）　，第二次应计算f（0.25）.

【例1】（1）已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（）

A.4，4B.3，4

C.5，4D.4，3

（2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（）

A.f（x）＝3x－1B.f（x）＝x²－2x＋1

C.f（x）＝4xD.f（x）＝e^x－2

答案：（1）D（2）ACD

解析：（1）图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.

（2）f（x）＝x²－2x＋1＝（x－1）^2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.

通性通法

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

【跟踪训练】

在用二分法求函数f（x）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（）

A.[1，4]B.[－2，1]

C.D.

解析：D∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为.

【例2】用二分法求方程2x³＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度为0.1）

解：令f（x）＝2x³＋3x－3，

经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）·f（1）＜0，

所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，

即方程2x³＋3x－3＝0在（0，1）内有解.

取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0，

又f（1）＞0，

所以方程2x³＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解.

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

由于｜0.6875－0.75｜＝0.0625＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.

【母题探究】

（变条件）若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何？

解：在本例的基础上，取区间（0.6875，0.75）的中点x＝0.71875，因为f（0.71875）＜0，f（0.75）＞0且｜0.71875－0.75｜＝0.03125＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解.

通性通法

用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）；

（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.

【跟踪训练】

用二分法求方程x²－2x－1＝0的正实数解的近似值.（精确度为0.1）

解：令f（x）＝x²－2x－1，∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝2＞0，

又∵f（x）在（2，3）上单调递增，

∴在（2，3）内方程x²－2x－1＝0有唯一的实数解，记作x₀.

取区间中点x₁＝，∵f（）＝＞0，∴x₀∈（2，）；

再取区间（2，）的中点x₂＝，∵f（）＝－＜0，∴x₀∈（）；

再取区间（）的中点x₃＝，∵f（）＝－－1＝－＜0，∴x₀∈（），

此时－＝＝0.125＞0.1；

再取区间（）的中点x₄＝，∵f（）＝（）²－2×－1＝＞0，∴x₀∈（），

此时－＝＝0.0625＜0.1且＝2.4375.

故方程x²－2x－1＝0的正实数解的近似值可取为2.4.

【例3】在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域（精确到100 m范围内）？

解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为m，则有≤100，即2ⁿ≥100，又2⁶＝64，2⁷＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.

通性通法

二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.

【跟踪训练】

一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？

解：第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；

第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；

第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；

第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；

第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；

第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次.

1.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（）

解析：D根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.

2.用二分法求函数f（x）＝2^x－3的零点时，初始区间可选为（）

A.（－1，0）B.（0，1）

C.（1，2）D.（2，3）

解析：C　f（－1）＝－＜0，f（0）＝－2＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝1＞0，f（3）＝5＞0，则f（1）f（2）＜0，即初始区间可选（1，2）.

3.设f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（）

A.（2，2.25）B.（2.25，2.5）

C.（2.5，2.75）D.（2.75，3）

解析：C因为f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.

4.若函数f（x）＝x³＋x²－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程x³＋x²－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）为（）

A.1.5B.1.375

C.1.438D.1.25

解析：C∵f（1.4065）＜0，f（1.438）＞0，∴f（1.4065）·f（1.438）＜0，∴该方程的根在区间（1.4065，1.438）内，又∵｜1.4065－1.438｜＝0.0315＜0.05，∴方程的近似根可以是1.438.

1.用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（）

A.x₁B.x₂

C.x₃D.x₄

解析：C能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f（a）f（b）＜0.而x₃左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.

2.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（）

A.｜a－b｜＜0.1B.｜a－b｜＜0.001

C.｜a－b｜＞0.001D.｜a－b｜＝0.001

解析：B根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算.

3.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（）

A.f（x）在上有零点

B.f（x）在上有零点

C.f（x）在上无零点

D.f（x）在上无零点

解析：B由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0可知f·f（b）＜0，根据函数零点存在定理可知f（x）在上有零点.

4.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x³＋2x－9的部分函数值数据如表所示：

则当精确度为0.1时，方程x³＋2x－9＝0的近似解可取为（）

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

解析：C由表格可得，函数f（x）＝x³＋2x－9的零点在区间（1.75，1.8125）内.结合选项可知，方程x³＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.

5.（多选）下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，不正确的是（）

A.若x₀∈[a，b]且满足f（x₀）＝0，则x₀是f（x）的一个零点

B.若x₀是f（x） 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x₀的近似值

C.函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点

D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

解析：BCD使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.

6.（多选）在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（）

A.0.68B.0.72

C.0.7D.0.6

解析：ABC已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝×（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合.

7.函数f（x）＝x²＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是a²＝4b.

解析：∵函数f（x）＝x²＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f（x）＝x²＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a²－4b＝0，∴a²＝4b.

8.用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝.

解析：令f（x）＝lnx－2＋x，∵f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln2＞0，f＝ln－＜0，∴下一个含根的区间是.

9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　3　次就可以发现假币.

解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.

10.已知方程2^x＋2x＝5.

（1）判断该方程解的个数以及所在区间；

（2）用二分法求出方程的近似解（精确度为0.1）.

参考数值：

解：（1）令f（x）＝2^x＋2x－5.

因为函数f（x）＝2^x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f（x）＝2^x＋2x－5至多有一个零点.

因为f（1）＝2¹＋2×1－5＝－1＜0，

f（2）＝2²＋2×2－5＝3＞0，

所以方程2^x＋2x＝5有一解在（1，2）内.

（2）用二分法逐次计算，列表如下：

因为｜1.375－1.25｜＝0.125＞0.1，

且｜1.3125－1.25｜＝0.0625＜0.1，

所以函数零点的近似值可取为1.3125，

即方程2^x＋2x＝5的近似解可取为1.3125.

11.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（2，3）D.（3，4）

解析：C令f（x）＝x－2lg－3，则f（2）＝2－2lg－3＝2－2×（－）lg2－3＝lg2－1＜0，f（3）＝3－3lg－3＝lg3＞0，∴用二分法求方程x－2lg＝3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）.

12.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6

C.7D.8

解析：C开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N^*，所以n≥7且n∈N^{*，故所需二分区间的次数最少为}7，故选C.

13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　1.5，1.75，1.875，1.812 5　.

解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.8125）.

14.已知函数f（x）＝x³－x²＋1.

（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；

（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x₀在哪个较小的区间内.

解：（1）证明：因为f（0）＝1＞0，f（2）＝－＜0，所以f（0）·f（2）＜0，由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解.

（2）取x₁＝×（0＋2）＝1，得f（1）＝＞0，

由此可得f（1）·f（2）＜0，下一个有解区间为（1，2）.

再取x₂＝×（1＋2）＝f＝－＜0，

所以f（1）·f＜0，下一个有解区间为.

再取x₃＝×＝f＝＞0，

所以f·f＜0，下一个有解区间为.

综上所述，所求的实数解x₀在区间内.

15.已知定义在区间[a，b]上的增函数f（x），在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，［a，］，［a＋］，又f（）＝0，则函数f（x）的零点为（）

A.－B.－

C.－D.－

解析：C由题意得，f（a）＜0，f（b）＞0，又a＋＞a恒成立，则解得∵f（）＝0，∴f（x）的零点为＝－.故选C.

16.已知函数f（x）＝2x²－8x＋m＋3为R上的连续函数.

（1）若m＝－4，判断f（x）在（－1，1）上是否有零点.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点x₀所在的区间；

（2）若函数f（x）在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围.

解：（1）m＝－4时，f（x）＝2x²－8x－1，

∴f（－1）＝9，f（1）＝－7，则f（－1）f（1）＜0，

∵f（x）为R上的连续函数，

∴f（x）在（－1，1）上必有零点x_0，

取其中点0，代入函数解析式得f（0）＝－1＜0，

∴f（－1）f（0）＜0，∴零点x₀∈（－1，0），

再取中点－f（－）＝＞0，

∴f（0）f（－）＜0，

∴零点x₀∈（－），

取其中点－f（－）＝＞0，

∴f（0）f（－）＜0，∴零点x₀∈（－），

再取其中点－f（－）＝＞0，

∴f（0）f（－）＜0，

∴零点x₀∈（－），又＜

∴符合要求，故在精确度为0.2的条件下，零点x₀所在的区间为（－）.

（2）f（x）＝2x²－8x＋m＋3的图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝2，∴在区间[－1，1]上，函数f（x）单调递减，又f（x）在区间[－1，1]上存在零点，

∴即

∴－13≤m≤3，即m的取值范围是[－13，3].

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