【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时 函数单调性的应用(教师版

第2课时函数单调性的应用

【例1】讨论函数f（x）＝ax²＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.

解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f'（x）＝ax＋1－＝.

①当a＝0时，f'（x）＝

由f'（x）＞0，得x＞1，

由f'（x）＜0，得0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.

②当a＞0时，f'（x）＝

∵a＞0，∴＞0.

由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.

综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增.

通性通法

讨论含参函数的单调性的关键点

（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结；

（2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0.

【跟踪训练】

设函数f（x）＝e^x－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间.

解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝e^x－a.

若a≤0，则f'（x）＞0，

所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.

若a＞0，则当x∈（－∞，lna）时，f'（x）＜0；

当x∈（lna，＋∞）时，f'（x）＞0.

所以f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增.

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数；

当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，lna），

单调递增区间为（lna，＋∞）.

【例2】已知函数f（x）＝x³－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围.

解：由已知得f'（x）＝3x²－a，

因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

所以f'（x）＝3x²－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x²对x∈R恒成立，因为3x²≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f'（x）＝3x²≥0，f（x）＝x³－1在R上是增函数，所以a≤0.即a的取值范围为（－∞，0].

【母题探究】

1.（变条件）若函数f（x）＝x³－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围.

解：由题意可知f'（x）＝3x²－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以即

所以a≥3.

即a的取值范围是[3，＋∞）.

2.（变条件）若函数f（x）＝x³－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值.

解：f'（x）＝3x²－a，①当a≤0时，f'（x）≥0，

所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意.

②当a＞0时，令3x²－a＝0，得x＝±

当－＜x＜时，f'（x）＜0.所以f（x）在（－）上单调递减，

所以f（x）的单调递减区间为（－），所以＝1，即a＝3.

通性通法

由函数的单调性求参数的技巧

（1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；

（2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：

①转化为单调函数求参数，再求其补集；

②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数.

【跟踪训练】

1.（2024·青岛月考）若函数f（x）＝ax－ln x在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）

A.（－∞，1]B.[1，＋∞）

C.［，＋∞）D.（－∞，］

解析：B　f'（x）＝a－.因为f（x）在[1，2]上单调递增，所以f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即a≥对x∈[1，2]恒成立，所以a≥（）_max＝1，即a∈[1，＋∞）.

2.若函数f（x）＝x³－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（）

A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）

B.（－3，－1）∪（1，3）

C.（－2，2）

D.不存在这样的实数k

解析：B由题意得，f'（x）＝3x²－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x²－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B.

【例3】（1）（2024·郑州月考）已知函数f（x）＝＋ln x，则（）

A.f（e）＜f（π）＜f（2.7）B.f（π）＜f（e）＜f（2.7）

C.f（e）＜f（2.7）＜f（π）D.f（2.7）＜f（e）＜f（π）

（2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a²）＜0成立，则实数a的取值范围为（）

A.（0，1）B.（1，）

C.（－2，－）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

答案：（1）D（2）B

解析：（1）函数f（x）＝＋lnx的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋lnx）'＝（）'＋（lnx）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.

（2）∵f（x）＝4x＋3sinx，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cosx＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sinx，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a²）＜0可化为f（1－a）＜f（a²－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜.

通性通法

比较大小及求函数不等式解集的一般思路

（1）在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.

（2）对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.

【跟踪训练】

1.已知实数x，y满足2x＋2^x＜2y＋2^y，则（）

A.x＞yB.x＝y

C.x＜yD.x，y的大小不确定

解析：C设f（t）＝2t＋2^t，所以f'（t）＝2＋2^tln2＞0，所以函数f（t）是增函数，由题意得f（x）＜f（y），所以x＜y.

2.如图所示的是函数f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋d的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－或0＜x＜}.

解析：由f（x）的图象知，f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－）上单调递减，所以当x∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－）时，f'（x）＜0.所以x·f'（x）＜0的解集为{x｜x＜－或0＜x＜}.

1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（）

A.f（1）＞f（2）B.f（1）＜f（2）

C.f（1）＝f（2）D.以上都不正确

解析：B　f'（x）＝2＋cosx＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）.

2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（）

A.[－1，＋∞）B.[1，＋∞）

C.（－1，＋∞）D.（1，＋∞）

解析：B由题意可得，f'（x）＝sinx＋a≥0恒成立，故a≥－sinx恒成立，因为－1≤－sinx≤1，所以a≥1.

3.（2024·温州月考）已知函数f（x）＝f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是（－∞，3）.

解析：由函数f（x）＝f'（x）＝＞0，即f（x）为R上的增函数，故由f（a＋3）＞f（2a）可得a＋3＞2a，∴a＜3.

4.已知函数f（x）＝x³＋ax²－a²x＋2（a＞0）.求函数f（x）的单调区间.

解：f'（x）＝3x²＋2ax－a²＝（x＋a）（3x－a），由f'（x）＝0得x＝－a或x＝.

又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜f'（x）＞0，得x＜－a或x＞

故f（x）的单调递减区间为和.

1.已知函数f（x）＝3^x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：A因为f（x）＝3^x－ax，所以f'（x）＝3^xln3－a，所以当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数.因为（－∞，0）⫋（－∞，0]，所以“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的充分不必要条件.故选A.

2.若f（x）＝x³－ax²的单调递减区间是（0，2），则正数a的值是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：A　f'（x）＝x²－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜2a，故2a＝2，即a＝1.

3.若函数f（x）＝x³－2ax²－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（）

A.－1≤a≤2B.－2≤a≤1

C.a＞2或a＜－1D.a＞1或a＜－2

解析：D若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x²－4ax－（a－2）有2个零点，故Δ＝16a²＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2.

4.（2024·温州期中）已知函数f（x）＝＜x＜3时，下列关系正确的是（）

A.f（）＜f（x）＜[f（x）]²

B.f（x）＜f（）＜[f（x）]²

C.[f（x）]²＜f（）＜f（x）

D.[f（x）]²＜f（x）＜f（）

解析：A由题意得f'（x）＝1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以[f（x）]²＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜[f（x）]².

5.（多选）已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A.f（b）＞f（a）B.f（d）＞f（e）

C.f（a）＞f（d）D.f（c）＞f（e）

解析：ABD由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）.

6.（多选）若函数f（x）＝x²－9ln x，在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（）

A.4B.3

C.2D.1

解析：AC　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝；由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3]；因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4；结合选项可得A、C正确.

7.函数f（x）＝x³－（2a＋1）x²＋（a²＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是（a，a＋1）.

解析：f'（x）＝x²－（2a＋1）x＋a²＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）.

8.若f（x）＝x³－ax²＋4在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是[3，＋∞）.

解析：f'（x）＝3x²－2ax，∵f（x）在（0，2）内单调递减，∴∴∴a≥3.

9.（2024·厦门月考）若函数f（x）＝2x－sin x，则满足f（2x－1）＞f（x＋1）的实数x的取值范围是（2，＋∞）.

解析：∵f'（x）＝2－cosx＞0，∴f（x）＝2x－sinx在R上是增函数，又∵f（2x－1）＞f（x＋1），∴2x－1＞x＋1，解得x＞2.

10.已知函数f（x）＝aln x＋x，讨论f（x）的单调性.

解：∵f（x）＝alnx＋x（x＞0），

∴f'（x）＝＋1＝（x＞0），

若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数；

若a＜0，则当x∈（－a，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（0，－a）时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（－a，＋∞）上单调递增，在（0，－a）上单调递减.

综上，当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上为增函数；

当a＜0时，f（x）在区间（－a，＋∞）上单调递增，在区间（0，－a）上单调递减.

11.已知函数f（x）＝ax－e^x在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A.（0，1）B.（0，e）

C.（1，e）D.（－∞，e）

解析：C　f'（x）＝a－e^x.因为f（x）＝ax－e^x在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）.故选C.

12.（2024·广州月考）已知函数f（x）＝2sin x－e^x＋e^{－x，则关于}x的不等式f（x²－4）＋f（3x）＜0的解集为（）

A.（－4，1）B.（－1，4）

C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.[－1，4]

解析：C　f（－x）＝－2sinx－e^－x＋e^x，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cosx－（e^x＋e^－x），∵2cosx≤2，e^x＋e^－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x²－4）＋f（3x）＜0，则f（x²－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x²－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4.故选C.

13.已知奇函数f（x）的定义域为R，且＞0，则f（x）的单调递减区间为（－1，1）；满足以上条件的一个函数是f（x）＝x³－x（答案不唯一）.

解析：由＞0，可得f'（x）（x²－1）＞0，所以或所以当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（－1，1）.满足条件的一个函数可以为f（x）＝x³－x.

14.已知函数f（x）＝ax²＋ln（x＋1）.

（1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.

解：（1）当a＝－时，f（x）＝－x²＋ln（x＋1）（x＞－1），

则f'（x）＝－x＋＝－（x＞－1）.

令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1；

令f'（x）＜0，解得x＞1.

故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）.

（2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立.

令g（x）＝－∈[1，＋∞），

易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立，

所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增，

因此g（x）_min＝g（1）＝－a≤－.

即实数a的取值范围是.

15.已知函数f（x）＝e^｜x｜＋cos x，则不等式f（2x）≤f（x－1）的解集为{x｜－1≤x≤}.

解析：函数f（x）的定义域为R，f（－x）＝e^｜－x｜＋cos（－x）＝e^｜x｜＋cosx＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.当x≥0时，f（x）＝e^x＋cosx，f'（x）＝e^x－sinx≥1－sinx≥0，所以函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，由f（2x）≤f（x－1）可得f（｜2x｜）≤f（｜x－1｜），所以｜2x｜≤｜x－1｜，则有4x²≤（x－1）^2，得3x²＋2x－1≤0，解得－1≤x≤.所以不等式的解集为{x｜－1≤x≤}.

16.（2024·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行.